Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng

     

Bài viết hướng dẫn phương pháp áp dụng tích phân nhằm tính diện tích S hình phẳng giới hạn vị hai tuyến phố cong, đó là dạng toán thường chạm chán trong chương trình Giải tích 12 cmùi hương 3: Nguyên hàm – Tích phân cùng Ứng dụng.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Cho nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ liên tiếp bên trên đoạn $.$ Diện tích hình phẳng giới hạn vày đồ dùng thị hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là: $S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$2. Xem lại giải pháp khử vệt giá trị tuyệt đối vào bí quyết tính diện tích hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng giới hạn vày trang bị thị nhị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ cho vày phương pháp $S = int_altrộn ^eta | f(x) – g(x)|dx$, trong số ấy $alpha $, $eta $ lần lượt là nghiệm nhỏ tốt nhất với lớn số 1 của pmùi hương trình $f(x) – g(x) = 0.$

II. BÀI TẬPhường TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy một ví dụ 1: hotline $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y=g(x)$ và hai tuyến phố thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $S = int_b^a | f(x) – g(x)|dx.$B. $S = int_a^b dx .$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$

Lời giải:Từ vật dụng thị ta có $f(x) – g(x) > 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^b dx .$$ = int_a^b f (x)dx – int_a^b g (x)dx$ $ = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$Chọn lời giải D.

lấy ví dụ 2: Điện thoại tư vấn $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì trang bị thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch men chéo vào mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định như thế nào sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx. $B. $S = left| int_a^b dx ight|.$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$

Lời giải:Từ đồ vật thị ta bao gồm $f(x) – g(x) ge 0$, $forall x in $ cùng $f(x) – g(x) le 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$Chọn câu trả lời D.

lấy ví dụ 3: Hotline $S_1$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ với hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a A. $S_1 > S_2.$B. $S_1 C. $S_1 = 2018S_2.$D. $S_2 = 2018S_1.$

Lời giải:Ta có:$S_1 = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$$S_2 = int_a^b | 2018f(x) – 2018g(x)|dx$ $ = 2018int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ Rightarrow S_2 = 2018S_1.$Chọn giải đáp D.

ví dụ như 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn vị đồ gia dụng thị các hàm số $y = x^2 + x$, $y = 3x$ với hai tuyến phố thẳng $x=1$, $x=3.$A. $S = frac23.$B. $S = frac43.$C. $S = 3.$D. $S = 2.$

Lời giải:+ Cách 1:Ta có: $S = int_1^3 x^2 + x – 3x ight $ $ = int_1^3 left .$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = – int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ = – left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_1^2$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_2^3 = 2.$Chọn giải đáp D.+ Cách 2:Xét phương thơm trình $x^2 + x – 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;3>\x = 2 in <1;3>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^3 left $ $ = left| int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| _1^2 ight|$ $ + left| left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = 2.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 5: Tính diện tích S $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn do vật thị nhị hàm số $y = x^3 – x$ với $y = 3x.$A. $S=6.$B. $S=7.$C. $S=8.$D. $S=9.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 2endarray ight..$Do đó $S = int_ – 2^2 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 – 4x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^2 left( x^3 – 4x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^44 – 2x^2 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 – 2x^2 ight) ight ight| = 8.$Chọn câu trả lời C.

lấy một ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn do vật thị hàm số $y = x^3 – x$ và vật thị hàm số $y = x – x^2.$A. $frac3712.$B. $frac94.$C. $frac8112.$D. $13.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x – x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = – 2\x = 1endarray ight..$Do đó $S = int_ – 2^1 x^3 + x^2 – 2x ight $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 2^0 ight|$ $ + left| _0^1 ight| = frac3712.$Chọn đáp án A.

lấy một ví dụ 7: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng thứ thị hai hàm số $y = (x – 6)^2$, $y = 6x – x^2.$A. $S=9.$B. $S = frac92.$C. $S=48.$D. $S = frac523.$

Lời giải:Xét phương trình $(x – 6)^2 – 6x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow 2x^2 – 18x + 36$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 6endarray ight..$$ Rightarrow S = int_3^6 dx $ $ = left| int_3^6 left( 2x^2 – 18x + 36 ight)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2x^33 – 9x + 36x ight) ight ight| = 9.$Chọn đáp án A.

lấy ví dụ như 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2 + 1$, tiếp đường cùng với đường cong này tại điểm $M(2;5)$ và trục $Oy$ bằng:A. $frac512.$B. $frac83.$C. $4.$D. $frac10712.$

Lời giải:Ta có: $y = x^2 + 1$ $ Rightarrow y’ = 2x$ $ Rightarrow y"(2) = 4.$Pmùi hương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^2 + 1$ trên điểm $M(2;5)$ là:$y – 5 = 4(x – 2)$ $ Leftrightarrow y = 4x – 3.$Xét phương trình: $x^2 + 1 – 4x + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$S = int_0^2 left $ $ = int_0^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x – 2)^33 ight|_0^2 = frac83.$Chọn giải đáp B.

lấy một ví dụ 9: Diện tích hình phẳng giới hạn vị mặt đường cong $y = x^3 – 3x$ với tiếp con đường với con đường cong này tại điểm $M( – 1;2)$ bằng:A. $frac94.$B. $frac154.$C. $frac274.$D. $frac354.$

Lời giải:Ta có: $y = x^3 – 3x$ $ Rightarrow y’ = 3x^2 – 3$ $ Rightarrow y"( – 1) = 0.$Pmùi hương trình tiếp đường của con đường cong $y = x^3 – 3x$ tại điểm $M( – 1;2)$ là:$y – 2 = 0(x + 1)$ $ Leftrightarrow y = 2.$Xét phương trình: $x^3 – 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2\x = – 1endarray ight..$$S = int_ – 1^2 dx $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^3 – 3x – 2 ight)dx ight|$ $ = left. left( fracx^44 – frac3x^22 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac274.$Chọn câu trả lời C.

ví dụ như 10: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do trang bị thị nhị hàm số $y = e^2x$, $y = e^ – x$ cùng con đường thẳng $x=1$ bởi $a.e^2 + frac1e + b$ với $a$, $b$ là những số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac52.$B. $T = – frac52.$C. $T = – 1.$D. $T = – frac12.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $e^2x – e^ – x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do đó $S = int_0^1 dx $ $ = left| int_0^1 left( e^2x – e^ – x ight)dx ight|$ $ = left. left( frace^2x2 + e^ – x ight) ight|_0^1$ $ = frace^22 + frac1e – frac32.$$ Rightarrow a = frac12$, $b = – frac32$ $ Rightarrow T = 2a + b = – frac12.$Chọn lời giải D.

Xem thêm: Nghệ Thuật Quyến Rũ Chồng Đỉnh Cao MớI, Nghệ Thuật Phòng The Quyến Rũ Chồng

Ví dụ 11: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vày vật dụng thị nhì hàm số $y = e^2x + e^x$, $y = 4e^x – 2$ bởi $fracab + cln 2$ cùng với $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số nguim. Tính $T = a^2 + b – c.$A. $T=9.$B. $T=1.$C. $T =15.$D. $T=13.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x + e^x – 4e^x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20le^x = 1\e^x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = ln 2endarray ight..$Do kia $S = int_0^ln 2 dx $ $ = left| int_0^ln 2 left( e^2x – 3e^x + 2 ight)dx ight|.$$ = left. left( frace^2x2 – 3e^x + 2x ight) ight|_0^ln 2$ $ = frac32 – 2ln 2.$$ Rightarrow a = 3$, $b = 2$, $c = – 2$ $ Rightarrow T = a^2 + b – c = 13.$Chọn câu trả lời D.

lấy ví dụ 12: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì thứ thị hai hàm số $y = xe^x$, $y = me^x$ $(m > 1)$ và mặt đường thẳng $x=1.$A. $S = me – e^m.$B. $S = e^m – me.$C. $S = e^m – me – 2e.$D. $S = me – e^m + 2e.$

Lời giải:Xét phương trình $xe^x – me^x = 0$ $ Leftrightarrow x = m.$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = int_1^m dx $ $ = int_1^m (m – x) e^xdx.$

*

$ Rightarrow S = left. (m – x)e^x ight|_1^m$ $ + left. e^x ight|_1^m$ $ = e^m – me.$Chọn đáp án B.

ví dụ như 13: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì thứ thị nhì hàm số $y = 2xln x$, $y = 6ln x$ bởi $a + bln 3$ với $a$, $b$ là những số nguyên ổn. Tính $T = 2a + b.$A. $T = 10.$B. $T=-7.$C. $T=7.$D. $T=-10.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $2xln x – 6ln x = 0$ $ Leftrightarrow (2x – 6)ln x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 1endarray ight..$$ Rightarrow S = int_1^3 | 2xln x – 6ln x|dx$ $ = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = (2x – 6)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\dv = x^2 – 6xendarray ight..$Khi đó $S = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|$ $ = left| left. left( x^2 – 6x ight)ln x ight ight|.$$ = left| _1^3 ight|$ $ = – 8 + 9ln 3.$$ Rightarrow a = – 8$, $b = 9$ $ Rightarrow T = 2a + b = – 7.$Chọn lời giải B.

lấy ví dụ 14: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì đồ vật thị nhị hàm số $y = 2cos x$, $y = 3$ và hai tuyến đường trực tiếp $x = 0$, $x = fracpi 4$ bằng $fracabpi + fracsqrt 2 c$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số ngulặng. Tính $T = 2a + b + c.$A. $T=-12.$B. $T=-9.$C. $T=9.$D. $T = 12.$

Lời giải:Ta có $S = int_0^fracpi 4 | 2cos x – 3|dx$ $ = int_0^fracpi 4 (3 – 2cos x)dx $ (vị $2cos x – 3 $ = left. (3x – 2sin x) ight|_0^fracpi 4$ $ = frac3pi 4 – sqrt 2 $ $ Rightarrow a = 3$, $b = 4$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = 2a + b + c = 9.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 15: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vì chưng trang bị thị hai hàm số $y = 1 + cos ^2x$, $y = sin ^2x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fraccd$ cùng với $fracab$, $fraccd$ là những phân số buổi tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=6.$B. $T =7.$C. $T =8.$D. $T=9.$

Lời giải:Ta có $S = int_0^fracpi 4 1 + cos ^2x – sin ^2x ight $ $ = int_0^fracpi 4 | 1 + cos 2x|dx.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2x)dx $ (bởi vì $1 + cos 2x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).$ = left. left( x + frac12sin 2x ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12$ $ Rightarrow a = 1$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 2.$$ Rightarrow T = a + b + c + d = 8.$Chọn giải đáp C.

ví dụ như 16: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vì chưng hai đường cong $y = x^2$, $x = y^2$ bởi $fracab$ với $fracab$ là những phân số về tối giản. khi đó khoảng cách tự điểm $M(a;b)$ đến điểm $A(2;1)$ bằng:A. $1.$B. $sqrt 5 .$C. $5.$D. $sqrt 29 .$

Lời giải:Ta có $y = x^2$ và $x = y^2$ $ Rightarrow x,y ge 0.$Lúc đó $x = y^2$ $ Leftrightarrow y = sqrt x .$Xét phương trình $x^2 – sqrt x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 1endarray ight..$Do kia $S = int_0^1 dx $ $ = left| int_0^1 left( x^2 – sqrt x ight)dx ight|$ $ = left| _0^1 ight| = frac13.$$ Rightarrow a = 1$, $b = 3$ $ Rightarrow M(1;3)$ $ Rightarrow MA = sqrt (2 – 1)^2 + (1 – 3)^2 = sqrt 5 .$Chọn đáp án B.

lấy ví dụ như 17: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị các con đường $y = left| x^2 – 3x + 2 ight|$, $y = x + 2$ bằng $fracab$ với $fracab$ là phân số về tối giản. Khẳng định như thế nào sau đấy là đúng?A. $a^2 – 4b + 2 = 0.$B. $a^2 + b – 58 = 0.$C. $a + b^2 – 40 = 0.$D. $a + 2b = 0.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình: $left| x^2 – 3x + 2 ight| = x + 2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx + 2 ge 0\left< eginarray*20lx^2 – 3x + 2 = x + 2\x^2 – 3x + 2 = – x – 2endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 4endarray ight..$Do kia $S = int_0^4 left = frac313$ $ Rightarrow a = 31$, $b = 3$ $ Rightarrow a + b^2 – 40 = 0.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 18: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vày vật dụng thị nhị hàm số $y = x^2 + 4x$, $y = 2x – m$ $(m > 1)$ với hai tuyến đường trực tiếp $x=0$, $x=2$ bằng $4.$ Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $m>5.$B. $mC. $2 D. $m le 2.$

Lời giải:Với $m>1$, ta bao gồm $x^2 + 2x + m$ $ = (x + 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall x in R.$lúc đó: $S = int_0^1 dx $ $ = int_0^1 left( x^2 + 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 + x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m + frac43.$$S = 4$ $ Rightarrow frac43 + m = 4$ $ Leftrightarrow m = frac83$ $ Rightarrow 2 Chọn giải đáp C.

lấy ví dụ 19: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vì đồ gia dụng thị nhì hàm số $y = x^2 – x$, $y = x + 3$ cùng hai tuyến đường trực tiếp $x = 0$, $x = m$ $(m > 3)$ bởi $fracm^33 – m^2.$ Khẳng định như thế nào dưới đây đúng?A. $m > 5.$B. $m ge 8.$C. $m le 5.$D. $7 Lời giải:Xét phương trình: $x^2 – x – x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 3endarray ight..$Bảng xét dấu:

*

Ta có: $S = int_0^m dx $ $ = – int_0^3 left( x^2 – 2x – 3 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 2x – 3 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – m^2 – 3m + 18.$$S = fracm^33 – m^2$ $ Rightarrow – 3m + 18 = 0$ $ Leftrightarrow m = 6$ $ Rightarrow m > 5.$Chọn đáp án A.

lấy ví dụ 20: Diện tích hình elip $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ bằng:A. $pi .$B. $2pi .$C. $3pi .$D. $4pi .$

Lời giải:Vẽ $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ nlỗi hình mặt, ta suy ra:$S = 4int_0^4 fracsqrt 16 – x^2 dx4 $ $ = int_0^4 sqrt 16 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = 4sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = 4cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 4$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S = int_0^fracpi 2 sqrt 16 – 16sin ^2t .4cos tdt$ $ = – 16int_0^fracpi 2 cos ^2 tdt$ $ = 8int_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt .$$ = left. (8t + 4sin 2t) ight|_0^fracpi 2 = 4pi .$Chọn lời giải D.

lấy một ví dụ 21: Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$ cho $(E)$ bao gồm pmùi hương trình $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ $(0 A. $ab=7.$B. $ab = 7sqrt 7 .$C. $ab = sqrt 7 .$D. $ab = 49.$

Lời giải:Diện tích hình tròn $(C)$ là: $S_1 = pi R^2 = 7pi .$Diện tích hình elip $(E)$ là: $S_2 = 4int_0^a fracbsqrt a^2 – x^2 dxa $ $ = 4fracbaint_0^a sqrt a^2 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = asin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = acos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = a$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S_2 = 4fracbaint_0^fracpi 2 a^2 cos ^2tdt$ $ = 2abint_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. 2ableft( t + frac12sin 2t ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi ab.$Theo trả thiết ta có $S_2 = 7S_1$ $ Leftrightarrow pi ab = 49pi $ $ Leftrightarrow ab = 49.$Chọn đáp án D.Ghi chú: Sau này ta cần sử dụng công dụng này đến nkhô nóng những em nhé: “Elip gồm độ nhiều năm trục to và trục nhỏ thứu tự là $2a$, $2b$ thì có diện tích $S = pi ab$”.

lấy ví dụ như 22: Parabol $y = x^2$ phân chia đường tròn trọng điểm là cội tọa độ, nửa đường kính bởi $sqrt 2 $ thành nhị phần. hotline $S_1$ là diện tích S phần ở trọn vẹn trên trục hoành với $S_2$ là diện tích S phần còn lại. Giá trị $S_2 – 3S_1$ bằng?A. $fracpi 2 – 1.$B. $1 – fracpi 2.$C. $frac43.$D. $ – frac43.$

Lời giải:Đường tròn trọng tâm $O$, bán kính bằng $2$ có pmùi hương trình:$x^2 + y^2 = 2.$

*

Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 + x^2 = 2$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Tính các diện tích:Diện tích hình tròn $S = pi (sqrt 2 )^2 = 2pi .$$S_1 = 2int_0^1 left( sqrt 2 – x^2 – x^2 ight)dx $ $ = 2int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx – left. frac2x^33 ight|_0^1.$Đặt $x = sqrt 2 sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = sqrt 2 cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 1$ $ Rightarrow t = fracpi 4.$$int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx$ $ = int_0^fracpi 4 sqrt 2 – 2sin ^2t .sqrt 2 cos tdt.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. left( t + fracsin 2t2 ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12.$$ Rightarrow S_1 = fracpi 2 + frac13$ $ Rightarrow S_2 = S – S_1$ $ = frac3pi 2 – frac13$ $ Rightarrow S_2 – 3S_1 = – frac43.$Chọn câu trả lời D.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Viết phương pháp tính diện tích S $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì đồ dùng thị nhì hàm số $y = f_1(x)$, $y = f_2(x)$ tiếp tục trên đoạn $$ cùng những con đường trực tiếp $x = a$, $x=b.$A. $S = int_a^b left .$B. $S = int_a^b left .$C. $S = left| int_a^b left( f_1(x) – f_2(x) ight)dx ight|.$D. $S = int_a^b left< f_2(x) – f_1(x) ight>dx .$

Câu 2: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vì đồ thị hàm số $y = x^3$, $y = x^5$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên ổn dương với $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $T = a + b.$A. $T = 5.$B. $T = 6.$C. $T = 7.$D. $T = 8.$

Câu 3: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vì chưng những mặt đường $y = x^2 + 5$, $y = 6x$, $x = 0$, $x = 1$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên ổn dương với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T = log _2(a + b – 2).$A. $T = 2.$B. $T=3.$C. $T=4.$D. $T=8.$

Câu 4: Gọi $S_1$ là diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn vị elip $fracx^225 + fracy^29 = 1$ cùng $S_2$ là diện tích S của hình thoi tất cả các đỉnh là các đỉnh của elip đó. Tính tỉ số giữa $S_1$ với $S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac2pi .$B. $fracS_1S_2 = frac3pi .$C. $fracS_1S_2 = fracpi 3.$D. $fracS_1S_2 = fracpi 2.$

Câu 5: Cho diện tích S hình phẳng được số lượng giới hạn do những mặt đường $y = x^3$, $y = 2 – x^2$, $x = 0$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên dương cùng $fracab$ là phân số buổi tối giản. Khẳng định làm sao sau đây là đúng?A. $a > 2b.$B. $a > b.$C. $a = b + 2.$D. $b = a + 2.$

Câu 6: Cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các mặt đường $y = fracln x2sqrt x $, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$ bởi $a + bsqrt e $ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Giá trị $a+b$ thuộc khoảng tầm như thế nào sau đây?A. $(0;2).$B. $(2;4).$C. $(4;6).$D. $(6;8).$

Câu 7: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vì những mặt đường thẳng $y = 2 – x$, $y = 0$, $x = m$, $x = 3$ $(m A. $(-4;-2).$B. $(-2;0).$C. $(0;2).$D. $(-6;-4).$

Câu 8: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì các con đường $y = (e + 1)x$ với $y = left( e^x + 1 ight)x$ bởi $fracea + b$ cùng với $a$, $b$ là những số ngulặng. Tính $T = a + 2b.$A. $3.$B. $2.$C. $1.$D. $0.$

Câu 9: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị các mặt đường parabol: $(P):y = x^2 – 2x + 2$, tiếp tuyến đường của $(P)$ trên $M(3;5)$ với trục $Oy$ có mức giá trị trực thuộc khoảng như thế nào sau đây?A. $(2;4).$B. $(4;6).$C. $(6;8).$D. $(8;10).$

Câu 10: Parabol $y = fracx^22$ chia hình tròn có trọng tâm tại gốc tọa độ, nửa đường kính $2sqrt 2 $ thành $2$ phần. Call $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích S phần gạch men chéo cánh với phần không gạch ốp chéo như mẫu vẽ.

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2$ mang quý giá gần đúng mặt hàng xác suất.A. $0,43.$B. $0,53.$C. $0,63.$D. $0,73.$